Nació en Blanes (Gerona), el día 22 de agosto de 1925. Sus primeros pasos futbolísticos fueron en el colegio de San Pablo del Campo (Barcelona). De allí pasó al Júpiter y después al Poble Sec, siendo traspasado al Terrasa para pasar a la temporada 1947, al R. C. D. Español, club donde conoció sus mejores triunfos deportivos.
Defendiendo los colores blanquiazules demostró su gran clase y pronto se ganó la admiración de toda la parroquia de Sarrià. Jugador de juego elegante e inteligente, Josep Parra, fue un avanzado de su época, ya que sacaba el balón jugado desde atrás y no le hacía falta emplearse con dureza para detener a los delanteros rivales, hecho que a veces le conllevaba algunas críticas por su excesiva nobleza.
Fue internacional siete veces contra Portugal en Lisboa (1950), luego en los Copa del Mundo de Brasil jugó contra Chile, Inglaterra, Uruguay, Brasil y Suecia y contra Bélgica en Bruselas. Empezó jugando de delantero centro y terminó siendo uno de los mejores defensas centrales de Europa.
Estuvo en las filas de Sarrià durante 12 temporadas, pero finalizó su carrera deportiva en el Cartagena de la segunda división, donde pese su veteranía siguió demostrando un alto nivel físico y de clase, ya que al jugador afincado en Terrassa no le hacía falta entrenar demasiado para estar en plena forma. Fue cuñado de otro mítico jugador del Espanyol, Antoni Argilés.
PARTIDOS DE LIGA
| PARRA | PJ | PC | PT | PS | MIN | GOLES |
| 47/48 | 10 | 10 | 10 | 0 | 900 | 0 |
| 48/49 | 22 | 22 | 22 | 0 | 1.980 | 1 |
| 49/50 | 24 | 24 | 24 | 0 | 2.160 | 0 |
| 50/51 | 22 | 22 | 22 | 0 | 1.980 | 0 |
| 51/52 | 29 | 29 | 29 | 0 | 2.610 | 0 |
| 52/53 | 30 | 30 | 30 | 0 | 2.700 | 0 |
| 53/54 | 28 | 28 | 28 | 0 | 2.520 | 0 |
| 54/55 | 29 | 29 | 29 | 0 | 2.610 | 0 |
| 55/56 | 13 | 13 | 13 | 0 | 1.170 | 0 |
| 56/57 | 9 | 9 | 9 | 0 | 810 | 0 |
| 57/58 | – | – | – | – | – | – |
| 58/59 | – | – | – | – | – | – |
| TOTAL | 216 | 216 | 216 | 0 | 19.440 | 1 |
7 VECES INTERNACIONAL CON ESPAÑA (TODAS REPRESENTANDO AL RCDE)
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